曲线P0，P1，P2，…，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线

Question

曲线P₀，P₁，P₂，…，已知P₀所围成的图形是面积为1的等边三角形，P_k+1是对P_k进行如下操作得到的：将P_k的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0，1，2，3，…），记S_n为曲线P_k所围成图形面积．
①求数列{S_n}的通项公式；
②求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

①对P₀进行操作，可得P₀的每条边变成P₁的4条边，故P₁的边数为3×4；
同样，对P₁进行操作，P₁的每条边变成P₂的4条边，故P₂的边数为3×4²，从而得到P_n的边数为3×4ⁿ 
已知P₀的面积为S₀=1，比较P₁与P₀，可得P₁在P₀的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为(1)/(32)，而P₀有3条边，故S₁=S₀+3×(1)/(32)=1+(1)/(3)
再比较P₂与P₁，可得P₂在P₁的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为(1)/(32)×(1)/(32)，而P₁有3×4条边，故S₂=S₁+3×4×(1)/(34)=1+(1)/(3)+(4)/(33)
类似地有：S₃=S₂+3×4²×(1)/(36)=1+(1)/(3)+(4)/(33)+(42)/(35)
∴S_n=1+(1)/(3)+(4)/(33)+(42)/(35)+…+(4n−1)/(32n−1)=1+(3)/(4)

n

k＝1

((4)/(9))k=(8)/(5)−(3)/(5)•((4)/(9))n（※）  &nbs