（2008•龙岩）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也

Question

（2008•龙岩）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解法一：如图1
过A作AE⊥CD，垂足为E．
依题意，DE=(9−4)/(2)=(5)/(2)．
在Rt△ADE中，AD=(DE)/(cos60°)=(5)/(2)×2＝5．

解法二：如图2
过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4．
∠AED=∠C=60度．
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等边三角形．
∴AD=DE=9-4=5．

（2）如图1
∵CP=x，h为PD边上的高，依题意，
△PDQ的面积S可表示为：
S=(1)/(2)PD•h=(1)/(2)（9-x）•x•sin60°
=(√(3))/(4)（9x-x²）=-(√(3))/(4)（x-(9)/(2)）²+(81√(3))/(16)．
由题意知0＜x≤5．
当x=(9)/(2)时（满足0＜x≤5），S_最大值=(81√(3))/(16)．

（3）如图4
存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ．
于是9-x=x，x=(9)/(2)．
此时，点P、Q的位置如图4所示，△PDQ恰为等边三角形．
过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连接PM、QM，则DM垂直平分PQ，
∴MP=MQ．
易知∠1=∠C．
∴PQ∥BC．
又∵DO⊥PQ，
∴MC⊥MD
∴MP=