在△ABC中余弦定理可叙述为a2=b2+c2-2bccosA.其中a、b、c依次为角A、B、C的对边类比以上定理给出空间四面体性质的猜想.

Question

在△A B C中 余弦定理可叙述为 a ² = b ² +c ² -2 b ccosA.

其中 a 、 b 、c依次为角A、 B 、C的对边 类比以上定理 给出空间四面体性质的猜想.

Answer 1

解:如例4图示 S ₁ 、 S ₂ 、 S ₃ 、 S 分别表示△ P A B 、△ PB C、△ P CA、△A B C的面积 α 、β、γ依次表示平面 P A B 与平面 PB C 平面 PB C与平面 P CA 平面 P CA与平面 P A B 所成二面角的大小 猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式应为

       S ² = S ₁ ² + S ₂ ² + S ₃ ² -2 S ₁ S ₂ cos α -2 S ₂ S ₃ cosβ-2 S ₃ S ₁ cosγ.

       上式可叙述为四面体的一个面的面积的平方 等于其他各面面积平方的和 减去每两个面面积与这两个面夹角余弦乘积的两倍.

       关于三维余弦定理的证明问题我们可以类比平面中的三角形射影定理来证明三角形余弦定理的方法 给出较简捷的证法.

       先看由三角形射影定理证明其余弦定理的方法:在△A B C中 a 、 b 、c分别表示角A、 B 、C的对边 则有 a = b cosC+ccos B               ①

       b =ccosA+ a cosC                                ②

       c= a cos B + b cosA                                ③

       ①× a -②× b -③×c可得

       a ² - b ² -c ² =-2 b ccosA 

       ∴ a ² = b ² +c ² -2 b cosA.

       下面给出三维余弦定理的证明 如例4图形 记号 表示面积为 S ₁ 和 S ₂ 的两个面所成的二面角大小 由例4的三维射影定理可知:

       S = S ₁ cos + S ₂ cos + S ₃ cos ①

       S ₁ = S ₂ cos + S ₃ cos + S cos ②

       S ₂ = S ₃ cos + S cos + S ₁ cos ③

       S ₃ = S cos + S ₁ cos + S ₂ cos ④

       ①× S -②× S ₁ -③× S ₂ -④× S ₃ 可得

       S ² - S ₁ ² - S ₂ ² - S ₃ ² =-2 S ₁ S ₂ cos -2 S ₂ S ₃ cos -2 S ₃ S ₁ cos S ₃ S ₁ =-2 S ₁ S ₂ cos α -2 S ₂ S ₃ cosβ-2 S ₃ S ₁ cosγ.

       移项得欲证三维余弦定理.

       温馨提示:在我们学习空间图形时 常常以四面体和长方体分别作为三角形和矩形的类比物 将二维空间(平面)中的某些常见的定理类比推理到三维空间得出相应的命题.