如图,在三角形ABC中,点D是角BAC的平分线上一点,BD垂直于AD于点D,过点D做DE,平分AC,交AB于点E,求证AE=BE

Question

如图,在三角形ABC中,点D是角BAC的平分线上一点,BD垂直于AD于点D,过点D做DE,平分AC,交AB于点E,求证AE=BE

Answer 1

要求证：点E是过A,B,D三点的圆的圆心,只要证明AE=BE=DE即可,可以根据等角对等边可以证得．
证明：
∵点D在∠BAC的平分线上,∴∠1=∠2．又∵DE∥AC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3．∴AE=DE．又∵BD⊥AD于点D,∴∠ADB=90°．∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．
∴∠EBD=∠EDB．∴BE=DE．∴AE=BE=DE．∵过A,B,D三点确定一圆,又∠ADB=90°,∴AB是A,B,D所在的圆的直径．∴点E是A,B,D所在的圆的圆心.
本题主要考查了等腰三角形的判定方法,等角对等边．
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