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如图,在三角形ABC中,点D是角BAC的平分线上一点,BD垂直于AD于点D,过点D做DE,平分AC,交AB于点E,求证AE=BE

题目详情
如图,在三角形ABC中,点D是角BAC的平分线上一点,BD垂直于AD于点D,过点D做DE,平分AC,交AB于点E,求证AE=BE
▼优质解答
答案和解析
要求证:点E是过A,B,D三点的圆的圆心,只要证明AE=BE=DE即可,可以根据等角对等边可以证得.
证明:
∵点D在∠BAC的平分线上,∴∠1=∠2.又∵DE∥AC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3.∴AE=DE.又∵BD⊥AD于点D,∴∠ADB=90°.∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°.
∴∠EBD=∠EDB.∴BE=DE.∴AE=BE=DE.∵过A,B,D三点确定一圆,又∠ADB=90°,∴AB是A,B,D所在的圆的直径.∴点E是A,B,D所在的圆的圆心.
本题主要考查了等腰三角形的判定方法,等角对等边.
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