在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥AB，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点E，过E作EF∥BC分别交AC，DC于G，F，过E作EH∥AB分别交AC，AD于K，H．（1）若∠B=60°，CF=2，求EG的长；（2）求证：GF=GK+KH．

Question

在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥AB，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点E，过E作EF∥BC分别交AC，DC于G，F，过E作EH∥AB分别交AC，AD于K，H．

（1）若∠B=60°，CF=2，求EG的长；
（2）求证：GF=GK+KH．

Answer 1

（1） ∵EF∥BC，CE为∠ACB的角平分线，
∴∠AGE=∠CGF=2∠BCE，
∵∠AGE=∠ACE+∠CEG，
∴∠ACE=∠CEG，
∴GC=GE，
在直角三角形GCF中，GC=tan60°×FC=2√(3)，
∴GE=2√(3)；
  
（2）证明：过C作CM⊥EF交EF于M，
由（1）知GC=GE，
∵∠CGF=∠AGE，
在△CMG与△EKG中，

∠CMG=∠EKG

∠KGE=∠CGM

CG=EG

，
∴△CMG≌△EKG（AAS），
∴MG=GK，CM=EK，
∵EH∥AB，
∴∠BAE=∠AEH，
∵∠BAE=∠EAK，
∴∠EAK=∠AEK，
∴AK=EK，
∵EF∥AD，EH∥AB∥DC，
∴∠CFM=∠D=∠KHA，
又∵∠FCA=∠HKA=90°，CM=EK，
在△CMF与△AKH中，

∠CFM=∠KHA

∠FCA=∠HKA

CM=AK

，
∴△CMF≌△AKH（AAS），
∴FM=KH，
∵GF=FM+MG，
∴GF=GK+KH．