（2014•鄂州）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．（1）求证：CD为⊙O的切线．（2）若CDAD=34，求cos∠DAB．

Question

（2014•鄂州）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若(CD)/(AD)=(3)/(4)，求cos∠DAB．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵(CD)/(AD)=(3)/(4)，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴(BC)/(AC)=(3)/(4)，
∴BC=(15)/(4)，
由勾股定理得AB=(25)/(4)，
∴OC=(25)/(8)，
∵OC∥AD，
∴(OC)/(AD)=(OE)/(AE)，
∴((25)/(8))/(4)=(AE−(25)/(8))/(AE)，
解得AE=(100)/(7)，
∴cos∠DAB=(AD)/(AE)=(4)/((100)/(7))=(7)/(25)．