证明：一个数列{xn}如果不是无穷大量，则它一定有收敛的子列．

Question

证明：一个数列{x_n}如果不是无穷大量，则它一定有收敛的子列．

Answer 1

证明：由数列{x_n}不是无穷大量知，数列{x_n}是有界的，因此
∃a₁，b₁，使得a₁≤x_n≤b₁，n=1，2，…
将区间[a₁，b₁]两等分成[a1，(b1-a1)/(2)]，[(b1-a1)/(2)，b1]，则这两个区间至少有一个区间含有数列{x_n}的无穷多项，记这个子区间为[a₂，b₂]
于是，[a₁，b₁]⊃[a₂，b₂]，且b2-a2=(1)/(2)(b1-a1)=M
将区间[a₂，b₂]两等分，同样至少有一个区间含有数列{x_n}的无穷多项，记这个子区间为[a₃，b₃]
满足：[a₂，b₂]⊃[a₃，b₃]，且b3-a3=(1)/(2)(b2-a2)=(1)/(2)M
依此无限的进行下去，得到区间列{[a_n，b_n]}，满足：[a_n，b_n]⊃[a_n+1，b_n+1]，且bn+1-an+1=(1)/(2)(bn-an)=(1)/(2n)M→0（n→∞）
即{[a_n，b_n]}是区间套，每一个区间都含有数列{x_n}的无穷多项，
由闭区间套定理，∃ξ∈[a_n，b_n]，n=1，2，…，满足

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

bn=ξ
然后，在区间[a₁，b₁]任取数列{x_n}的某一项，记为xn1，继续在区间[a₂，b₂]中取数列{x_n}的xn1项之后的另一项xn2，n₂>n₁
如此下去，就得到数列{x_n}的子数列{xnk}，满足ak≤xnk≤bk，k=1，2…
且

lim

k→∞

xnk=ξ
证毕