设函数f（x）=11+px+qx2（其中p2+q2≠0），且存在公差不为0的无穷等差数列{an}，使得函数在其定义域内还可以表示为f（x）=1+a1x+a2x+a2x2+…+anxn+…（1）求a1，a2的值（用p，q表示）；（2）求{an}的

Question

设函数f（x）=(1)/(1+px+qx2)（其中p²+q²≠0），且存在公差不为0的无穷等差数列{a_n}，使得函数在其定义域内还可以表示为f（x）=1+a₁x+a₂x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…
（1）求a₁，a₂的值（用p，q表示）；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）当n∈N^*且n≥2时，比较（a_n-1）^a_n与（a_n） an-1的大小．

Answer 1

（1）由题意，得(1+px+qx2)(1+a1x+a2x2+…+anxn+…)=1，
显然x，x²的系数为0，所以

a1+p=0

a2+a1p+q=0

，
从而a₁=-p，a2=p2-q．…（4分）
（2）考虑xⁿ（n≥3）的系数，则有a_n+pa_n-1+qa_n-2=0，…（5分）
因数列{a_n}是等差数列，所以a_n-2a_n-1+a_n-2=0，所以（2+p）a_n-1=（1-q）a_n-2对一切n≥3都成立，…（7分）
若a_n=0，则p=q=0，与p²+q²≠0矛盾，
若数列{a_n}是等比数列，又据题意{a_n}是等差数列，则{a_n}是常数列，这与数列{a_n}的公差不为零矛盾，
所以2+p=1-q=0，即p=-2，q=1，…（9分）
由（1）知a₁=2，a₂=3，所以a_n=n+1．…（10分）
（其他方法：根据题意可以用p、q表示出a₁，a₂，a₃，a₄，由数列{a_n}为等差数列，利用2a₂=a₁+a₃，2a₃=a₂+a₄解方程组也可求得．其它解法酌情给分．）
（3）由（2）可得：（a_n-1）^a_n=nⁿ⁺¹，（a_n） an-1=（n+1）ⁿ
当n=2时，a₁^a₂=2³，=8，a₂^a₁=3²，=9，∴a₁^a₂<a₂^a₁．
当n≥3时，nⁿ⁺¹>（n+1）ⁿ即（a_n-1）^a_n>（a_n） an-1，下面用数学归纳法证明．…（12分）
①当n=3时，3⁴=81，4³=64，∴64<81．结论成立．
②假设n=k时，结论成立，即k^k+1>（k+1）^k．…（13分）
下面证明n=k+1时成立．
由假设得(kk+1)/((k+1)k)>1，因为（k+1）²>k（k+2），即：(k+1)/(k+2)>(k)/(k+1)，
所以((k+1)k+2)/((k+2)k+1)=((k+1)k)/((k+2)k)•((k+1)2)/(k+2)>((k)/(k+1))k•(k(k+2))/(k+2)=(kk+1)/((k+1)k)>1，
即（k+1）^k+2>（k+2）^k+1．所以n=k+1时，结论也成立．
综上n∈N^*且n≥3时，（a_n-1）^a_n>（a_n） an-1．…（16分）