单调有界数列一定有极限吗?lim=(1+1/x)exp(x)=e,这个极限是求证x->无穷时的极限,为什么不求证x->0的极限呢?我能想到的一个解释是：x->无穷时这个极限可以用准则2来求,也就是说这个极限是作为

Question

单调有界数列一定有极限吗?
lim=(1+1/x)exp(x)=e,这个极限是求证x->无穷时的极限,为什么不求证x->0的极限呢?我能想到的一个解释是：x->无穷时这个极限可以用准则2来求,也就是说这个极限是作为准则2的一个例子给出的,而数列的自变量只有一个变化过程[x->无穷]
还有没有其他答案,或者标准答案是什么?
还有一个原因是,x->0时,任何数的0次方都是1
[准则2就是题目]

Answer 1

单调有界数列一定有极限,比如说如果在递减数列中a1 >= a2 >= ...>= an >= ...那么可以设数集{an}的下确界inf(an) = A,那么可以证明极限就是A（因为是有界集,所以下确界是有意义的）
对于一个单调的函数f(x),也可以取其值域的上下确界,得到它两边的极限.
我们当然可以求lim(1+1/x)^x在x->0时的（右）极限(左极限底数为负,没有意义）.但是x->0时不是所有数的0次方都是0.因为底数也是趋向于无穷的,这是一个所谓“‘无穷’的零次方”的不定式.为什么一般而言是1呢?比如说有一个函数f(1/x),limf(1/x)^x在x->0时为1,就是说x * ln(f(1/x)) ->0.换一下元就是ln(f(x))/x ->0 当x->无穷时.只有当f(x)的增长达到指数量级时,这个极限才有可能不是0.像一般的f(x) = 1+x的多项式函数,极限肯定是0.另一方面,考虑一下阶乘：f(n) = n!（只在整数有定义）那么lim(ln(n!)/n)的极限是不为0的!所以一概而论说“任何数的0次方都是1”就不对的.