设{an}是各项均为正数的无穷项等差数列．（本题中必要时可使用公式：12+22+33+…+n2＝n(n+1)(2n+1)6）（Ⅰ）记Sn=a1+a2+…+an，Tn=a12+a22+…+an2，已知Sn≤n2+n−1，Tn≥4n3−n3（n∈N*），试求此等差数列

Question

设{a_n}是各项均为正数的无穷项等差数列．（本题中必要时可使用公式：12+22+33+…+n2＝(n(n+1)(2n+1))/(6)）
（Ⅰ）记S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，已知Sn≤n2+n−1，Tn≥(4n3−n)/(3)（n∈N^*），试求此等差数列的首项a₁及公差d；
（Ⅱ）若{a_n}的首项a₁及公差d都是正整数，问在数列{a_n}中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{a′_m}？若存在，请写出{a′_m}的构造过程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）依题意：Sn＝na1+(n(n−1))/(2)d，a_n=a₁+（n-1）d，所以a_n²=a₁²+2a₁（n-1）d+（n-1）²d²，Tn＝na12+n(n−1)a1d+(1)/(6)(n−1)n(2n−1)d2，
则

na1+(n(n−1))/(2)d≤n2+n−1

n

a

2 1

+n(n−1)a1d+(1)/(6)(n−1)n(2n−1)d2≥(4n3−n)/(3)

即

(2−d)n2+n(2−a1−d)−2≥0(1)

2(d2−4)n2+3d(2a1−d)n+6

a

2 1

−6a1d+d2+2≥0(2)

则n∈N*恒成立，
所以

作业帮用户 2016-11-29

问题解析

（Ⅰ）因为{a_n}是各项均为正数的无穷项等差数列，所以前n项和为Sn＝na1+(n(n−1))/(2)d，a_n=a₁+（n-1）d，求出a_n²得到T_n上网通项公式，由Sn≤n2+n−1，Tn≥(4n3−n)/(3)列出不等式组（1）和（2），求出解集讨论得到d，将d代入（1）和（2）得到（3）和（4）求出解集讨论得到a₁即可；
（Ⅱ）先构造，因为{a_n}为a₁，a₁+d，a₁+2d，…，取a₁′=a₁，a₂′=a₁+da₁′=（1+d）a₁，a₃′=a₁′+d（a₁′+a₂′）=a₁′+da₁+da₂′=a₂′+da₂′=（1+d）a₂′所以a_m′=a₁′+d（a₁′+a₂′+…+a_m-1′）=a_m-1′+da_m-1′=（1+d）a_m-1′=（1+d）^m-1a₁，故数列{a_n}是以a₁为首项，1+d（大于1）为公比的非常数等比数列，证明存在a_m′=a₁+dk，从而a_m′是a₁，a₁+d，a₁+2d，…，中的项．

名师点评

本题考点：

数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评：

考查学生会利用数列的递推式解决实际问题，掌握等比、等差数列的通项公式及前n项和的公式，会进行数列的求和．

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