己知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=5，4a32=a2a6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1=2，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；（3）设cn=anbnbn+1，求数列{cn}的前n项和为Tn．

Question

己知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+2a₂=5，4a₃²=a₂a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=(an)/(bnbn+1)，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

（1）等比数列{a_n}的各项均为正数，且公比q>0，
a₁+2a₂=5，4a₃²=a₂a₆，可得a₁+2a₁q=5，4（a₁q²）²=a₁²q⁶，
解得a₁=1，q=2，
则a_n=a₁q^n-1=2^n-1，n∈N*；
（2）数列{b_n}满足b₁=2，且b_n+1=b_n+a_n，
可得b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，
则b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=2+1+2+…+2^n-2
=2+(1-2n-1)/(1-2)=2^n-1+1，n∈N*；
（3）c_n=(an)/(bnbn+1)=(2n-1)/((1+2n-1)(1+2n))=(1)/(1+2n-1)-(1)/(1+2n)，
则数列{c_n}的前n项和为T_n=(1)/(1+20)-(1)/(1+2)+(1)/(1+2)-(1)/(1+22)+…+(1)/(1+2n-1)-(1)/(1+2n)
=(1)/(2)-(1)/(1+2n)．