矩阵的等价有什么意义?我只知道函数极限的等价有用.RT矩阵的等价有什么意义,一个矩阵可以通过初等变换变成另外一个矩阵,这样有什么意义?

Question

矩阵的等价有什么意义?我只知道函数极限的等价有用.
RT
矩阵的等价有什么意义,一个矩阵可以通过初等变换 变成另外一个矩阵,这样有什么意义?

Answer 1

举个例子,解析几何中为了求线段AB的长度,要先建立坐标系,在这个坐标系下写出A,B两点的坐标,再根据公式求出AB长度.注意这里的坐标系是可以任意选取的,选择的坐标系不同,A.B两点的坐标就不同,但AB的长度是不会变化的,也就是说长度是坐标变换下的不变量.回到矩阵和线性方程组的问题,考虑最简单的一元方程x+1=0和2x+2=0,它们的解相同,但方程的形式不一样,像这样改变线性方程组的形式但不改变解的性质（有无解,解是否唯一等）,翻译成矩阵语言就是,对矩阵做初等变换后矩阵的秩不变,我们称这样两个矩阵是等价的.像这种“在变化中找不变”的例子还有很多,例如线性变换中矩阵的迹是不变量等,而我们往往对这些不变量最感兴趣.有了矩阵等价的概念,我们解线性方程组时就不用再对每个方程进行变化了,而直接研究其系数构成的矩阵,对其进行初等变换,就可以了解方程组的解的情况,并求出方程组的解.矩阵等价用矩阵乘法表示出来就是,矩阵A,B等价的充要条件是存在可逆矩阵P和Q使得B=PAQ.注意线性代数中关于两个矩阵之间的很多关系其实都是等价关系,例如A,B合同要求存在可逆矩阵C,使得B=(C^T)AC,A,B相似要求存在可逆矩阵P,使得B=P^(-1)AP,注意这些情况里A和B都满足等价的定义.也就是说矩阵合同和矩阵相似都是矩阵等价中的特例.