复数矩阵为什么要取共轭转置而不直接取转置?或者说两者的应用范围有什么不同?

Question

复数矩阵为什么要取共轭转置而不直接取转置?或者说两者的应用范围有什么不同?

Answer 1

对于复矩阵而言共轭转置确实比单纯的转置更为常用,其原因主要来自于对内积的需求
先看C^n空间,x^Ty是一个双线性形式,不构成内积,而x^Hy才构成内积.进一步,看线性算子的伴随,=,容易验证伴随算子的矩阵表示恰好是一个转置共轭.这些都是由内积空间的公理自然决定的.所以与几何相关的概念经常会采用共轭转置(比如酉阵,Hermite阵,Hermite型,QR分解,奇异值分解,极分解,...)
在讨论纯粹的线性的代数性质而不是几何性质的时候单纯的转置就有用了,比如说研究映射X->AXB的时候,可以把X拉成向量,然后这个线性映射就可以表示成vec(X) -> vec(AXB) = T vec(X),表示矩阵T可以写成 T = B^T o A,这里 o 表示矩阵的Kronecker乘积.这种情况下取共轭转置就不成立了,因为破坏了线性性质.