多项式p(x)=x^3-2x+2;b是p(x)的一个复根,求1/(b^5)=?这应该是一个代数问题,不包括利用一元三次方程的求根公式,

Question

多项式p(x)=x^3-2x+2; b是p(x)的一个复根,求 1/(b^5)=?
这应该是一个代数问题,不包括利用一元三次方程的求根公式,

Answer 1

你说的很对,这是一个代数问题
主要利用b^3-2b+2=0来解答
∵b^5=（b^3-2b+2）*（b^2+2）-2b^2+4b-4
而b是p(x)的一个复根,所以 b^3-2b+2=0
∴b^5=-2b^2+4b-4
设1/(b^5)=xb^2+yb+z
那么(-2b^2+4b-4)(xb^2+yb+z)=1
-2xb^4+(4x-2y)b^3+(-4x-2z-4y)b^2+(4z-4y)b-4z=1
-2xb^4+(4x-2y)b^3+(-4x-2z-4y)b^2+(4z-4y)b-4z-1=0
也就是说-2xb^4+(4x-2y)b^3+(-4x-2z-4y)b^2+(4z-4y)b-4z-1这个代数式能被b^3-2b+2整除
这样就可以得到x=0,y=-1/6,z=-1/3
所以1/(b^5)=-（b+2）/6