韦达定理的推广!不懂!对于一元n次方程任意两根之和怎么表示.每两根之积的和怎么表示.每三根之积的和怎么表示.所有根之积怎么表示.不太懂.不要带特殊符号。不要摘抄。网上的我都看过

Question

韦达定理的推广!不懂!
对于一元n次方程任意两根之和怎么表示.每两根之积的和怎么表示.每三根之积的和怎么表示.所有根之积怎么表示.不太懂.
不要带特殊符号。不要摘抄。网上的我都看过了。看不懂。

Answer 1

其实原理很简单,公式可能趋于复杂了
高斯复根相关的定理研究告诉我们一元n次方程一定有n个根,天才伽得罗又说一元5次以上无求根公式.你说有意思把,它有根就是不知道怎么求.现在回到正题.
一般一元n次方程为
a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+'''+a[0]=0
即
(1):x^n+a[n-1]/a[n]x^(n-1)+'''+a[0]/a[n]=0
Gauss（高斯）告诉我们还可以写成下式(其中x[1],...,x[n]为相应的n个根)
(2):(x-x[1])(x-x[2])'''(x-x[n])=0
上面在展开
x^n+(-x[1]-x[2]-'''-x[n])x^(n-1)+(x[1]x[2]+x[1]x[3]'''+x[n-1]x[n])x^(n-1)+'''+x[1]'''x[n](-1)^n=0
比较(1)(2)里面x^n系数,其实没什么值得比较的；
比较(1)(2)里面x^(n-1)系数,这就有意思了!a[n-1]/a[n]=-x[1]-x[2]-'''-x[n]这是什么!系数与根的和关系,你要是那个时代的人发现这个也成为Gauss了!
比较(1)(2)里面x^(n-2)系数,也很有意思.a[n-2]/a[n]=x[1]x[2]+'''+x[n-1]x[n]
但右边是什么?!反应快马上想到,这是x[1],x[2],''',x[n-1],x[n]这些根从中选择两个相乘之后求和,注意一定要不重不漏,所有n个根任选择2个,把n个根选择2个根的所有情况都找出来,然后加一下.
另外我们要写成数学语言阿,怎么办当年那位伟人就想到一个表示方法Sum{x[i]x[j]}[let 1