一个半球状雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例系数K>0.设融化中雪堆始终保持半球状,初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8,问雪堆全部融化还需要多长时间?

Question

一个半球状雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例系数K>0.设融化中雪堆始终保持半球状,初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8,问雪堆全部融化还需要多长时间?

Answer 1

体积V(t)= 2/3π r^3
dv/dt= - KS = - K' V(t)^(2/3) (这里的K'是常数 和K有关 可以写一个他们之间的等式 没必要)
两边积分 ∫ dv/dt =∫ - K' V(t)^(2/3）
∫ V(t)^(-2/3)dv = ∫ K'dt
- V(t)^(1/3) = k't + C
t=0 时 V(t)= V 得 C=- V ^ (1/3)
t=3 时 V(t)=1/8V 得 K'=1/6 V^(1/3)
当 V(t)=0 时 t= -C/K' = 6
所以还需要3小时 全部融化