在地球表面附近竖直向上抛出一质量为m的小球,初速度为V0.运动中小球受到的空气阻力与其速度成正比,比例系数为k.试求：（1）小球达到最高点时所需的时间；（2）小球能达到的最大高度.

Question

在地球表面附近竖直向上抛出一质量为m的小球,初速度为V0.运动中小球受到的空气阻力与其速度成正比,比例系数为k.试求：
（1）小球达到最高点时所需的时间；
（2）小球能达到的最大高度.

Answer 1

设m/k=t0,有时间的量纲.
解微分方程a+v/t0+g=0,v(t=0)=V0
得v=(V0+gt0)e^(-t/t0)-gt0
令v=0,得第一问答案
t=t0*ln( 1 + V0 / (gt0) )
将v积分,得h=t0*(V0+gt0)*( 1- e^(-t/t0) ) - g t t0
代入时间t,得第二问答案
hmax=t0 ( V0 - g t0 ln( 1 + V0 / (gt0) ) )