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某银行准备新设一种定期存款业务,经预测:存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,又银行吸收的存款能全部放贷出去,试确定当存款利率定为多少时,
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某银行准备新设一种定期存款业务,经预测:存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,又银行吸收的存款能全部放贷出去,试确定当存款利率定为多少时,银行可获取最大收益?
▼优质解答
答案和解析
根据银行收益=贷款收益-存款利息,故可设出存款利率,将银行收益表示为利率的函数y=0.048kx2-kx3,然后对函数进行求导判断函数的单调性,进而求出函数的最值即可.
【解析】
设存款利息为x,则应用x∈(0,0.048),
依题意:存款量是kx2,银行应支付的利息是kx3,贷款的收益是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3.
由于y'=0.096kx-3kx2,令y'=0,得x=0.032或x=0(舍去),
又当0<x<0.032时,y'>0;当0.032<x<0.096时,y'<0,
所以当x=0.032时,y取得最大值,即当存款利率定为3.2%时,银行可获得最大利润.
【解析】
设存款利息为x,则应用x∈(0,0.048),
依题意:存款量是kx2,银行应支付的利息是kx3,贷款的收益是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3.
由于y'=0.096kx-3kx2,令y'=0,得x=0.032或x=0(舍去),
又当0<x<0.032时,y'>0;当0.032<x<0.096时,y'<0,
所以当x=0.032时,y取得最大值,即当存款利率定为3.2%时,银行可获得最大利润.
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