关于凸包的问题在数理经济学课本中,定义集合S的凸包为包含S的凸集的交,并说由此可以看出凸包具有如下两个性质：1）是凸集；2）是包含S的最小的凸集.其中,第一个性质是很容易证明的,那

Question

关于凸包的问题
在数理经济学课本中,定义集合S的凸包为包含S的凸集的交,并说由此可以看出凸包具有如下两个性质：1）是凸集；2）是包含S的最小的凸集.其中,第一个性质是很容易证明的,那么第二个性质是如何推出的?
请问具体如何证明为最小凸集？怎样用反正法？

Answer 1

其实,(1)(2)两个问题应该同时证明:
＞表示"包含"
设对于任意的凸集Ai,
满足 Ai＞S ,
则 ∩Ai > ∩S (这里∩是对i=1到无穷)
即 ∩Ai > S
又因为Ai >∩Ai (这是由交集的定义决定了∩Ai 是最小)
所以对于任意的凸集Ai ,有
Ai >∩Ai > S
由上式中,凸集Ai 的任意性,知
∩Ai 是包含S的最小的凸集