设R是集合A上的一个自反关系,证明：R是等价关系若∈R∧∈R→∈R

Question

设R是集合A上的一个自反关系,证明：R是等价关系若∈R∧∈R→∈R

Answer 1

等价关系满足:
(自反) ∈R
(对称) ∈R → ∈R
(传递) ∈R∧∈R → ∈R
如果R是等价关系,且R是自反关系,那么
∈R∧∈R
=> ∈R∧∈R
=> ∈R
如果∈R∧∈R→∈R,且R是自反关系,那么
1) (自反) ∈R
2) (对称) 若∈R,又有自反∈R,
        则∈R∧∈R → ∈R
3) (传递) 若∈R,∈R,又有对称∈R,
        则∈R∧∈R → ∈R
综合(1)(2)(3),可得R是等价关系
因此,若R是集合A上的一个自反关系
R是等价关系 ∈R∧∈R→∈R