数学复合指数函数求值域的方法

Question

数学复合指数函数求值域的方法

Answer 1

指数函数：（1）
指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑.（2）
指数函数的值域为大于0的实数集合.（3） 函数图形都是下凹的.（4） a大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的.（5）
可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0）,函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置.其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置.（6）
函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交.（7） 函数总是通过（0,1）这点.（8） 显然指数函数无界.
指数函数的值域一般为(0,+∞),其他情况多不胜数如:解法一:反函数 y=(1/2)^[(x-1)/(x+1)] logy=(x-1)/(x+1)
xlogy+log=x-1 x(1-logy)=1+logy
x=(1+logy)/(1-logy)
反函数y=(1+logx)/(1-logx) 反函数的定义域(0,1/2)∪(1/2,+∞)
反函数的定义域即原函数的值域 y的值域(0,1/2)∪(1/2,+∞) 解法二:极限 y的定义域(-∞,-1)∪(-1,+∞)
y=(1/2)^[(x-1)/(x+1)] =2^[-(x-1)/(x+1) =2^{[2-(x+1)]/(x+1)} =2^[2/(x+1)-1]
=2^[2/(x+1)]/2 判断单调性 x↗,x+1↗,2/(x+1)↘,2^[2/(x+1)]/2↘即x↗,y↘
y=在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递减,判断定义域四个端点上y值的极限可得y的值域 当x→-∞时,(x-1)/(x+1)→1+,y→1/2-
当x→-1-时,(x-1)/(x+1)→+∞,y→0+ y在(-∞,-1)上的值域是(0,1/2) 当x→-1+时,(x-1)/(x+1)→-∞,y→+∞
当x→+∞时,(x-1)/(x+1)→1-,y→1/2+ y在(-1,+∞)上的值域是(1/2,+∞) y的值域(0,1/2)∪(1/2,+∞)