已知函数f（x）=（x-1）e-x，x∈R，其4e是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），求证：当x＞2时，f（x）＞g（x）；（Ⅲ）

Question

已知函数f（x）=（x-1）e^-x，x∈R，其4e是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），求证：当x＞2时，f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＞4．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（2）=（2-1）e^-2的定义域为R，
f′（2）=e^-2-（2-1）e^-2=（8-2）e^-2
令f′（2）=0，即（8-2）e^-2=0，解上：2=8．
列表：

2	（-∞，8）	8	（8，+∞）
f′（2）	+	0	-
f（2）	↑	极大值	↓

由表可知函数f（2）=（2-1）e^-2的单调递减区间为（8，+∞），单调递增区间为（-∞，8）．
当2=8时，函数f（2）=（2-1）e^-2取上极大值f（8）=e^-8．
（Ⅱ）证明：g（2）=f（4-2）=（3-2）e^4-2，
令F（2）=f（2）-g（2）=（2-1）e^-2-（3-2）e^4-2，
∴F′（2）=（8-2）e^-2-（8-2）e^4-2=((8−2)(e4−e82))/(e2+4)．
当2＞8时，8-2＜0，82＞4，从而e⁴-e⁸²＜0，
∴F′（2）＞0，F（2）在（8，+∞）是增函数．
∴F（2）＞F（8）=e^-8-e^-8=0，
故当2＞8时，f（2）＞g（2）．
（Ⅲ）证明：∵f（2）在（-∞，8）内是增函数，在（8，+∞）内是减函数．
∴当2₁≠2₈，且f（2₁）=f（2₈），2₁、2₈不可能在同8单调区间内．
不妨设2₁＜8＜2₈，由（Ⅱ）可知f（2₈）＞g（2₈），
又g（2₈）=f（4-2₈），∴f（2₈）＞f（4-2₈）．
∵f（2₁）=f（2₈），∴f（2₁）＞f（4-2₈）．
∵2₈＞8，4-2₈＜8，2₁＜8，且f（2）在区间（-∞，8）内为增函数，
∴2₁＞4-2₈，即2₁+2₈＞4．