某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为4

Question

某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=e^kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．
（1）求该食品在30℃的保鲜时间；
（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？

Answer 1

（1）由题意，

160=eb

40=e20k+b

，∴

eb=160

e10k=(1)/(2)

…（2分）
∴当x=30时，y=e30k+b=(e10k)3•eb=(1)/(8)•160=20．…（4分）
答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时．…（5分）
（2）由题意y=e^kx+b≥80，∴ekx≥(80)/(160)=(1)/(2)=e10k，…（7分）
∴kx≥10k．
由e10k=(1)/(2)可知k<0，故x≤10．…（9分）
答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃．…（10分）