求一个高阶导数公式的证明"x的(n-1)次方与x的自然对数的积的n阶倒数等于(n-1)的阶乘与x的商"如何证明?

Question

求一个高阶导数公式的证明
"x的(n-1)次方与x的自然对数的积的n阶倒数等于(n-1)的阶乘与x的商"如何证明?

Answer 1

f(x,n) = x^(n-1) * ln(x)
f'(x,n) = x^(n-1) * (1/x) + (n-1) * x^(n-2) * ln(x)
= x^(n-2) + (n-1) * x^(n-2) * ln(x)
= x^(n-2) + (n-1) * f(x,n-1)
对n做数学归纳法.
n = 1时,有
f(x,1) = ln(x),
f'(x,1) = 1/x = 0!/ x.
成立.
设(n-1)时成立,即
f[n-1阶导](x,n-1) = (n-2)!/ x.
则有
f[n阶导](x,n)
= ( (x^(n-1) * ln(x))' )[再求n-1阶导数]
= ( x^(n-2) + (n-1) * f(x,n-1) )[求n-1阶导数]
= 0 + (n-1) * f[n-1阶导](x,n-1)
= (n-1) * (n-2)!/ x
证毕.