已知曲线f（x）=ex-ax，其中e为自然对数的底数．（1）若曲线f（x）=y在x=0处的切线与直线x+y-3=0平行，求函数y=f（x）的极值；（2）若不等式f（x）≥1在区间[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值

Question

已知曲线f（x）=e^x-ax，其中e为自然对数的底数．
（1）若曲线f（x）=y在x=0处的切线与直线x+y-3=0平行，求函数y=f（x）的极值；
（2）若不等式f（x）≥1在区间[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=e^x-ax的导数为f′（x）=e^x-a，
曲线f（x）=y在x=0处的切线斜率为k=1-a，
由切线与直线x+y-3=0平行，
则1-a=-1，解得a=2，
即有f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2，
当x>ln2时，f′（x）>0，f（x）在（ln2，+∞）递增；
当x即有x=ln2处，f（x）取得极小值，且为2-2ln2，无极大值．
（2）不等式f（x）≥1在区间[0，+∞）上恒成立，即为
e^x-ax-1≥0在区间[0，+∞）上恒成立．
可令g（x）=e^x-ax-1，g′（x）=e^x-a，
①当a≤0时，由e^x>0，g′（x）>0，g（x）在[0，+∞）递增，
即有g（x）≥g（0）=0，成立；
②当a>1时，当x>lna时，g′（x）>0，g（x）在（lna，+∞）递增，
当0即有x=lna处g（x）取得极小值，也为最小值，且为a-alna-1≥0，
由于a-alna-1的导数为1-（1+lna）=-lna<0，即有a-alna-1<1-ln1-1=0，
则a-alna-1≥0无解；
③当0x≥1，g′（x）=e^x-a>0恒成立，
即有g（x）在[0，+∞）递增，
即有g（x）≥g（0）=0，成立．
综上可得，a的取值范围为：（-∞，1]．