设函数f（x）=xe2x+c（e=2.71828…是自然对数的底数，c∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间、最大值；（Ⅱ）试讨论函数y=f（x）-|lnx|零点的个数．

Question

设函数f（x）=(x)/(e2x)+c（e=2.71828…是自然对数的底数，c∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间、最大值；
（Ⅱ）试讨论函数y=f（x）-|lnx|零点的个数．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝(1−2x)/(e2x)，
令f′（x）＞0，解得x＜(1)/(2)，令f′（x）＜0，解得x＞(1)/(2)
所以f（x）的单调递增区间为(−∞，(1)/(2))，单调递减区间为((1)/(2)，+∞)，f（x）的最大值为f((1)/(2))＝(1)/(2e)+c
（Ⅱ）令g(x)＝f(x)−|lnx|＝(x)/(e2x)+c−|lnx|，
①当0＜x＜1时g(x)═(x)/(e2x)+c+lnx，所以g′(x)＝(1−2x)/(e2x)+(1)/(x)＝(x−2x2+e2x)/(xe2x)
在0＜x＜1时，函数y=e^2x的值域为（1，e），函数y=2x²-x的值域为(−(1)/(8)，1)，
所以在0＜x＜1上，恒有2x²-x＜e^2x，即e^2x+x-2x²＞0，
所以y=g′（x）对任意x∈（0，1）大于零恒成立，所以g（x）在（0，1）上单调递增；
②当x≥1时，g(x)═(x)/(e2x)+c−lnx，所以g′(x)＝(1−2x)/(e2x)−(1)/(x)＝(x−2x2−e2x)/(xe2x)，
显然在x≥1时有函数y=x-2x²=x（1-2x）＜0恒成立，
所以函数y=x-2x²-e^2x＜0在x≥1时恒成立，
所以g′（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减；
由①②得，函数g(x)＝(x)/(e2x)+c−|lnx|在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以g（x）的最大值为g(1)＝(1)/(e2)+c
当(1)/(e2)+c＝0，即c＝−(1)/(e2)时，函数y=f（x）-|lnx|有且只有一个零点；
当(1)/(e2)+c＞0，即c＞−(1)/(e2)时，函数y=f（x）-|lnx|有两个不等的零点；
当(1)/(e2)+c＜0，即c＜−(1)/(e2)时，函数y=f（x）-|lnx|没有零点．