设函数f（x）=x2+mln（x+1），若函数是定义域上的单调函数，求m的范围．

Question

设函数f（x）=x²+mln（x+1），若函数是定义域上的单调函数，求m的范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x²+mln（x+1），
∴f'（x）=(2x2+2x+m)/(x+1)，且f（x）在定义域上是单调函数，
∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立，
若f'（x）≥0，∵x+1>0，
∴2x²+2x+m≥0在（-1，+∞）上恒成立．
即m≥-2x²-2x=-2x（x+1）在（-1，+∞）上恒成立，
∵当x∈（-1，+∞）时，-2x（x+1）=-2（x+(1)/(2)）2+(1)/(2)≤(1)/(2)
∴m≥(1)/(2)；
若f'（x）≤0，∵x+1>0，
∴2x²+2x+m≤0在（-1，+∞）上恒成立．
即m≤-2（x²+x）在（-1，+∞）上恒成立．
∵-2（x²+x）在（-1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数m使f'（x）≤0恒成立．
综上可知，实数b的取值范围是[(1)/(2)，+∞）．