已知函数f（x）=x﹣﹣2lnx在定义域是单调函数，f′（x）是函数f（x）的导函数．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取得最小值时，数列{an}满足：a1=m+3，an+1=f′（）﹣nan+1，n∈N*

Question

已知函数f（x）=x﹣ ﹣2lnx在定义域是单调函数，f′（x）是函数f（x）的导函数．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m取得最小值时，数列{a _n }满足：a ₁ =m+3，a _n+1 =f′（ ）﹣na _n +1，n∈N*．
试证：
①a _n ＞n+2；
② + + +…+ ＜ ．

Answer 1

（1）∵f′（x）= ，令h（x）=x ² ﹣2x+m，△=（﹣2） ² ﹣4m，
当△≤0，即m≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；
当△＞0，即m＜1时，f′（x）的符号不确定（或大于0，或小于0），
f（x）在定义域内不单调，
∴当f（x）单调递增时，m≥1；当m＜1时，f（x）在定义域内不单调．
∴实数m的取值范围为[1，+∞）；
（2）∵m≥1，
∴当m取得最小值时m=1，
∴a ₁ =3+m=4，
又a _n+1 =f′（ ）﹣na _n +1，n∈N*．
∴a _n+1 =a _n ² ﹣na _n +1
①用数学归纳法证明：
（I）当n=1时，a ₁ =4＞3=1+2，不等式成立；
（II）假设当n=k时，不等式成立，即a _k ＞k+2，
那么，a _k+1 =a _k （a _k ﹣k）+1＞（k+2）（k+2﹣k）+1≥k+3，
也就是说，当n=k+1时，a _k+1 ＞（k+1）+2，
根据（I）和（II），对于所有n≥1，有a _n ≥n+2．
②由a _n+1 =a _n （a _n ﹣n）+1及①，对k≥2，有
a _k =a _k﹣1 （a _k﹣1 ﹣k+1）+1≥a _k﹣1 （k﹣1+2﹣k+1）+1=2a _k﹣1 +1
∵1+a _k≥ 2（a _k﹣1 +1），
由等比数列的通项公式可得：a _k ≥2 ^k﹣1 （a ₁ +1）﹣1，
于是 ＜ （k≥2），
∴ + +…+ ＜ ＜ = = ．