周期函数的几个结论

Question

周期函数的几个结论

Answer 1

下面是周期函数性质
　　（1）若T（≠0）是f(X)的周期,则-T也是f(X)的周期.
　　（2）若T（≠0）是f(X)的周期,则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期.
　　（3）若T1与T2都是f(X)的周期,则T1±T2也是f(X)的周期.
　　（4）若f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍.
　　（5）T*是f(X)的最小正周期,且T1、T2分别是f(X)的两个周期,则 （Q是有理数集）
　　（6）若T1、T2是f(X)的两个周期,且T1/T2是无理数,则f(X)不存在最小正周期.
　　（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合.
编辑本段周期函数的判定
定理1
　　
　　若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0,X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数. [1]
　　证：
　　∵T*是f(X)的周期,∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X),∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C,
　　∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数.
　　假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期,则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期,则对 ,
　　有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0,∵K≠0,∴f(X+T’)- f(X)=0,∴f(X+T’)= f(X),
　　∴T’是f(X)的周期,与T*是f(X)的最小正周期矛盾,∴T*也是K f(X)+C的最小正周期.
　　同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0,X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数.
定理2
　　若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(aX+n)是集｛X/aX+ n ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数,（其中a、b为常数）.
　　证：
　　先证 是f(ax+b)的周期
　　∵T*是f(X)的周期,∴ ,有X±T*∈M,∴a（X ）+b=ax+b ±T*∈M,且f[a（X+ T ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期.
　　再证 是f（ax+b）的最小正周期
　　假设存在T’（0＜T’＜ ）是f（ax+b）的周期,
　　则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b）,即f（ax+b+aT’）=f（ax+b）,
　　因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数,
　　∴aT’是f(X)的周期,但 ＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾.
定理3
　　设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数,且当X∈M1时,g(x)∈M,则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数.
　　证：
　　设T是u=g(x)的周期,则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))
　　∴=f(g(x))是M1上的周期函数.
　　例1
　　设=f(u)=u2是非周期函数,u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数,则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数.
　　同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx),（2）f(X)=Sin(tgx),（3）f(X)=Sin2x,（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数.
　　例2
　　f(n)=Sinn是周期函数,n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数,f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）.
　　例3
　　f(n)=cosn是周期函数,n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数.
　　证：假设cos 是周期函数,则存在T＞0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾,
　　∴cos 不是周期函数.
　　由例2、例3说明,若f(u)是周期函数,u= g(X)是非周期函数,这时f(g(x))可能是,也可能不是周期函数.
定理4
　　设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数,T1、T2分别是它们的周期,若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数,T1与T2的公倍 数为它们的周期.
　　证：
　　设 （(p•q)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M,且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数.同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数.
定理4推论
　　
　　设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期,若, … （或T1,T2……Tn中任意两个之比）都是有理数,则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数.
　　例4
　　f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数.
　　例5
　　讨论f(X)= 的周期性
　　2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数.
　　5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数.
　　tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数.
　　又 都是有理数
　　∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数.
　　同理可证：
　　（1）f(X)=cos ;
　　(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x.是周期函数.
定理5
　　设f1(x)=sin a1x,f2(x)=cosa2x,则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q.
　　证
　　先证充分性：
　　若a1/a2∈Q,设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期,则T1= 、T2= ,又 ∈Q
　　由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数.
　　再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）.
　　（1）设sina1x-cosa2x为周期函数,则必存在常数T＞0,
　　使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1).
　　令x= 得2cos（a1x+ ）,则 （K∈Z）.(2)
　　或 C∈Z（3）
　　又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0
　　由(4)
　　由sin （5）
　　由上述（2）与（3）,（4）与（5）都分别至少有一个成立.
　　由（3）、（5得 ）（6）
　　∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 .
　　（2）设sinaxcosa2x为周期函数,则 是周期函数.
编辑本段非周期函数的判定
　　[1]（1）若f(X)的定义域有界
　　例：f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函数.
　　（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的,故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0,若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数,若这样的T不存在则f(X)为非周期函数.
　　例：f(X)=cos 是非周期函数.
　　（3）一般用反证法证明.（若f(X)是周期函数,推出矛盾,从而得出f(X)是非周期函数）.
　　例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数.
　　证：假设f(X)=ax+b是周期函数,则存在T（≠0）,使对 ,a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0,∴T=0与T≠0矛盾,∴f(X)是非周期函数.
　　例：证f(X)= 是非周期函数.
　　证：假设f(X)是周期函数,则必存在T（≠0）对 ,有(x+T)= f(X),当x=0时,f(X)=0,但x+T≠0, ∴f(x+T)=1,∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾,∴f(X)是非周期函数.
　　例：证f(X)=sinx2是非周期函数
　　证：若f(X)= sinx2是周期函数,则存在T（＞0）,使对 ,有sin(x+T)2=sinx2,取x=0有sinT2=sin0=0,∴T2=Kπ（K∈Z）,又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2kπ=0,∴( +1)2
　　T2=Lπ(L∈Z+),∴
　　与3+2 是无理数矛盾,∴f(X)=sinx2是非周期函数