3个3个的数多一个,拿出一个,再5个5个的数,还多一个,拿出一个,然后7个7个的数,还多一个,有多少?一篮桃子,3个3个的数,多一个,把那个多的拿出来,再5个5个的数,多一个,把那个拿出来,7个7个的数,

Question

3个3个的数多一个,拿出一个,再5个5个的数,还多一个,拿出一个,然后7个7个的数,还多一个,有多少?
一篮桃子,3个3个的数,多一个,把那个多的拿出来,再5个5个的数,多一个,把那个拿出来,7个7个的数,多一个,有多少个桃子?

Answer 1

分析与解 本题可概括为“一个数用3除余1,用5除余2,用7除余3,这个数最小是多少?”
　　我们从余数开始逆推：
　　由于用3除余1,所以这个数为3n+1（n为正整数）.
　　要使3n+1这个数继而满足用5除余2的条件,可用n=1,2,3……来试代,发现当n=2时,3×2+1=7满足条件.
　　由于15能被3和5整除,所以15m+7这些数（m为正整数）,也能满足用3除余1,用5除余2这两个条件.
　　在15m+7中选择适当的m,使之用7除得到的余数为3.也是采取试代的方法,试代的结果得出：当m=3时满足条件.
　　这样15×3+7= 52为所求的答案,也就是说这篮桃子至少有52个.
　　对于这类用3、5、7三个数来除分别得到不同余数的题目,有没有一个解答的规律呢?有.我国有个著名的余数定理,它可以用四句诗来形象地记忆.
　　三人同行七十稀,
　　五树梅花廿一支,
　　七子团圆正半月,
　　抛五去百便得知.
　　这四句诗叫“孙子点兵”歌,外国称它为“中国剩余定理”.这首诗的意思是：70乘上用3除所得的余数,21乘上用5除所得的余数,15乘上用7除所得的余数,然后把这三个乘积加起来,其和加或减105的整数倍,就可以得到所需要的数了.
　　现在我们回到本题,并运用上述办法求解.由于用3除余1,用5除余2,用7除余3,所以,
　　70×1+21×2+15×3
　　=70+42+45
　　=157
　　因为要求的是最小值,所以
　　157-105
　　=52