设函数f（x）=alnx+ex（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a>0时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若不等式f（x）<0在区间（0，e2]内有解，求实数a的取值范围．

Question

设函数f（x）=alnx+(e)/(x)（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a>0时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若不等式f（x）<0在区间（0，e²]内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=(ax-e)/(x2)，（x>0），
a>0时，由f′（x）>0，解得：x>(e)/(a)，由f′（x）<0，解得：0<x<(e)/(a)，
故函数f（x）在（0，(e)/(a)）递减，在（(e)/(a)，+∞）递增，
故函数f（x）只有极小值，
f（x）_极小值=f（(e)/(a)）=aln(e)/(a)+a，无极大值；
（Ⅱ）不等式f（x）<0在区间（0，e²]内有解，
问题可化为函数f（x）在区间（0，e²]的最小值小于0，
（i）a≤0时，f′（x）<0，
则函数f（x）在区间（0，e²]内为减函数，
故f（x）的最小值是f（e²）=2a+(1)/(e)<0，
即a<-(1)/(2e)；
（ii）a>0时，函数f（x）在区间（0，(e)/(a)）内为减函数，在区间（(e)/(a)，+∞）内为增函数，
①若e²≤(e)/(a)，即0<a≤(1)/(e)，函数f（x）在区间（0，e²]内为减函数，
由（i）知，f（x）的最小值f（e²）<0时，a<-(1)/(2e)与0<a≤(1)/(e)矛盾；
②若e²>(e)/(a)，即a>(1)/(e)，
则函数f（x）的最小值是f（(e)/(a)）=aln(e)/(a)+a，
令f（(e)/(a)）=aln(e)/(a)+a<0，得a>e²，
综上，实数a的范围是（-∞，-(1)/(2e)）∪（e²，+∞）．