有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?题中9、7、5三个数两两互质.根据同余原理,则〔7,5〕=35,35能被7、5整除,但除以9不余5,35×4=140,140除

Question

有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?
题中9、7、5三个数两两互质.根据同余原理,则
〔7,5〕=35,35能被7、5整除,但除以9不余5,35×4=140,140除以9余5；
〔9,5〕=45；45能被9、5整除,但除以7不余1,45×5=225,225除以7余1；
〔9,7〕=63；63能被9、7整除,但除以5不余2,63×4=252,252除以5余2；
〔9,7,5〕=315.
所以,140＋225＋252 - 315 =302 ,就是所求的数.
不明白的地方是：为什么根据“〔7,5〕=35,35能被7、5整除,但除以9不余5”就直接得出“35×4=140”,其中35*4的“4”是怎样推出来的?

Answer 1

4是这样一个数,用n替代.n是使35*n除以9余5的最小的正整数.
之后的5,4也具有这样的性质.
140＋225＋252 - 315 中,只有140不能被9整除,只有225不能被7整除,只有252不能被5整除.
所以只要35*n（140）除以9余5,
45*n（225）除以9余5,
63*n（252）除以9余5,
即可满足要求.
n具体数值的得出在除数比较小的时候凑一下就行,除数较大时,可用等差数列的知识求出.