已知O使空间任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点不贡献,但4点共面.向量oa=x向量ob+2y向量oc+3z向量od.为什么x+2y+3x=1?

Question

已知O使空间任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点不贡献,但4点共面.向量oa=x向量ob+2y向量oc+3z向量od.
为什么x+2y+3x=1?

Answer 1

你写错了,应该是x+2y+3z=1.这个不给分我都不高兴,解释起来好复杂.看好了.
因为A,B,C,D四点共面,则存在m,n使得向量BA=mBC+nBD.（平面向量基本定理）
已知OA=xOB+2yOC+3zOD (以下大写字母都为向量,小写字母均为实数)
而OA=OB+BA=OB+mBC+nBD=xOB+2yOC+3zOD (就是将已知OA换成OB+mBC+nBD)
合并同类项可得(3z-n)OD+(2y-m)OC=(1-x-m-n)OB.因为B、D、C三点不共线,所以OD、OC、OB不共面.所以上式中当且仅当3z-n=0,2y-m=0,1-x-m-n=0同时成立.
解得m=2y,n=3z,x+2y+3z=1.
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