如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=2，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E（2）当异面直线AC，C1E所成的角为π3时，求三棱柱C1-A1B1E的体积．

Question

如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=(π)/(2)，AB=AC=√(2)，AA₁=3，D是BC的中点，点E在棱BB₁上运动．

（1）证明：AD⊥C₁E
（2）当异面直线AC，C₁E所成的角为(π)/(3)时，求三棱柱C₁-A₁B₁E的体积．

Answer 1

（1）证明：如图所示，
∵AB=AC=√(2)，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴BB₁⊥AD，
又BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵C₁E⊂平面BCC₁B₁，
∴：AD⊥C₁E．
（2） ∵AC∥A₁C₁，
∴∠B₁C₁A₁为异面直线AC，C₁E所成的角，为(π)/(3)，
∵A₁C₁⊥A₁B₁，AA₁⊥A₁C₁，
A₁B₁∩AA₁=A₁，
∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁，
∴A₁C₁⊥A₁E，
∴A1E=A1C1tan(π)/(3)=√(2)×√(3)=√(6)，∴B1E=√(A1E2-A1B21)=2，
∴三棱柱C₁-A₁B₁E的体积V=(1)/(3)×S△A1B1E×A1C1=(1)/(3)×(1)/(2)×√(2)×2×√(2)=(2)/(3)．