（2012•浙江）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=26，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角

Question

（2012•浙江）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2√(3)的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2√(6)，M，N分别为PB，PD的中点．
（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，
∴在△PBD中，MN∥BD．
又MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴MN∥平面ABCD；
（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，在菱形ABCD中，∠BAD=120°
，得AC=AB=2√(3)，BD=√(3)AB＝6
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC
在直角△PAC中，AC＝2√(3)，PA＝2√(6)，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，由此知各点坐标如下
A（-√(3)，0，0），B（0，-3，0），C（√(3)，0，0），D（0，3，0），P（−√(3)，0，2√(6)），M（−

作业帮用户 2017-10-15

问题解析

（1）连接BD，利用三角形的中位线的性质，证明MN∥BD，再利用线面平行的判定定理，可知MN∥平面ABCD；
（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面AMN的法向量

m

＝(2√(2)，0，−1)，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-MN-Q的平面角的余弦值；
方法二：证明∠AEQ为二面角A-MN-Q的平面角，在△AED中，求得AE=(3√(3))/(2)，QE=(√(11))/(2)，AQ=2√(2)，再利用余弦定理，即可求得二面角A-MN-Q的平面角的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评：

本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是利用线面平行的判定定理，掌握面面角的两种求解方法，属于中档题．

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