已知双曲线x2a2−y2b2=1（a，b＞0）的离心率为2，右焦点到一条渐近线的距离为3．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线l：x-my-2=0与双曲线相交于A，B两点，点B在右准线上的射影为点C，当m变

Question

已知双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)=1（a，b＞0）的离心率为2，右焦点到一条渐近线的距离为√(3)．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线l：x-my-2=0与双曲线相交于A，B两点，点B在右准线上的射影为点C，当m变化时，试研究直线AC是否过定点，并写出判断依据．

Answer 1

（I）取双曲线的渐近线y=(b)/(a)x，∵右焦点（c，0）到一条渐近线的距离为√(3)．
∴(bc)/(√(a2+b2))=√(3)，化为b=√(3)．
又∵e＝(c)/(a)＝2，c²=a²+3，解得a²=1，c=2．
∴双曲线的方程为x2−(y2)/(3)＝1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

x−my−2＝0

3x2−y2＝3

，化为（3m²-1）y²+12my+9=0，
y₁+y₂=-(12m)/(3m2−1)，y₁y₂=(9)/(3m2−1)．
∵双曲线的右准线为：x＝(1)/(2)．
∴C((1)/(2)，y2)．
当m=0时，可得AB的方程：x=2．
可得A（2，-3），B（2，3），C((1)/(2)，3)，
直线AC的方程为y+3＝(6)/(−(3)/(2))(x−2)，化为4x+y-5=0，
令y=0，可得x=(5)/(4)．
猜想直线AC过定点M((5)/(4)，0)．
直线AP的方程为：y＝(y1)/(x1−(5)/(4))(x−(5)/(4))，
令x=(1)/(2)，化为y=(3y1)/(5−4x1)=(3y1)/(−3−4my1)，
∵3y₁+（3+4my₁）y₂=3（y₁+y₂）+4my₁y₂=(−36m)/(3m2−1)+(36m)/(3m2−1)=0，
∴y=(3y1)/(−3−4my1)=y₂，
因此直线AM与准线x=(1)/(2)相交于点((1)/(2)，y2)，即点C．
∴三点A，M，C共线．
综上可得：直线AC过定点M((5)/(4)，0)．