证明抛物线没有渐近线．

Question

证明抛物线没有渐近线．

Answer 1

证明：设抛物线的方程是y²=2px（p≠0）．
假设抛物线有渐近线，渐近线的方程是y=ax+b，易知a、b都不为0．
因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组

y2=2px，①

y=ax+b，②

的两组解的倒数都是0．
将②代入①，得a²x²+2（ab-p）x+b²=0．③
设x₁、x₂是③的两个根，由韦达定理，可知
x₁+x₂=-(2(ab-p))/(a2)，x₁•x₂=(b2)/(a2)，
则(1)/(x1)+(1)/(x2)=(-2(ab-p))/(b2)，④(1)/(x1)•(1)/(x2)=(a2)/(b2)=0．⑤
由④⑤，可推得p=0，
这与假设p≠0矛盾．
所以，抛物线没有渐近线．