已知椭圆x2/a2+y2/b2=1的离心率是（根号6）/3,过椭圆上一点M做直线MA,MB分别交椭圆于A,B两点,且斜率分别为K1K2,若点AB关于原点对称,则K1乘k2的值是（2）若点M的坐标为（0,1）,k1+k2=3,求证AB过定点

Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1的离心率是（根号6）/3,过椭圆上一点M做直线MA,MB分别交椭圆于A,B两点,且斜率分别为K1 K2,若点AB关于原点对称,则K1乘k2的值是 （2）若点M的坐标为（0,1）,k1+k2=3,求证AB过定点,并直线AB的斜率k的取值范围

Answer 1

椭圆方程为：x²/a²+y²/b²=1①,e=√6/3=√(a²-b²)/a.M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).直线MA的方程为：y-y1=k1(x-x1).直线MB的方程为：y-y2=k2(x-x2).由题意知点A,B关于原点对称,则有：y1=-y2,x1=-x2.则直线MA的斜率k1=(y-y1)/(x-x1),直线MB的斜率k2=(y+y1)/(x+x1),k1*k2=(y²-y1²)/(x²-x1²)②.∵A(x1,y1)点在同一个椭圆上,x1²/a²+y1²/b²=1③.将③和①相减,则有k1*k2=(y²-y1²)/(x²-x1²)=-b²/a²=(c²-a²)/a²=(c/a)²-1=e²-1=-1/3.
﹙2﹚、如果M(0,1),则有k1*k2=(y²)/(x²-1)④,k1+k2=3⑤