设椭圆过点，离心率为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足=，证明：点的轨迹与无关．

Question

设椭圆 过点 ，离心率为
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，满足 = ，证明：点 的轨迹与 无关．

Answer 1

设椭圆 过点 ，离心率为
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，满足 = ，证明：点 的轨迹与 无关．

． 解（Ⅰ）由题意解得 ，所求椭圆方程为 ．…………4分
（Ⅱ）方法一
设点 Q 、 A 、 B 的坐标分别为 ．
由题设 ,则 且 ．
又A，P，B，Q四点共线，从而 ．…………6分
于是           ，     
          ，    
从而
， （1）   ， （2）
又点A、B在椭圆C上，即
     
…………10分
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得 ，…………14分
点 总在定直线 上．即点 的轨迹与 无关．…………15分
方法二
设点 ，由题设 = ．
又 四点共线，可得 ,…………6分
于是
                   （1）
                   （2）
由于 在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程 整理得
     （3）
       (4)
…………10分
(4)－(3) 　得   ，
，…………14分
点 总在

作业帮用户 2016-12-16

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