用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半,已知△abc中,∠a为钝角,ad为bc边上的中线,求证ad＜½bc

Question

用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半,已知△abc中,∠a为钝角,ad为bc边上的中线,求证ad＜½bc

Answer 1

证明:假设AD ≥ BC/2.
由D为BC中点,即BD = CD = BC/2.
有AD ≥ BD,且AD ≥ CD.
由三角形中大边对大角,在△ADB中有∠ABD ≥ ∠BAD,同理在△ADC中有∠ACD ≥ ∠CAD.
相加得∠B+∠C ≥ ∠A.
于是2∠A ≤ ∠A+∠B+∠C = 180°,即∠A ≤ 90°,与∠A是钝角矛盾.
因此假设不能成立,即有AD < BC/2.