从一个半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成锥形漏斗，问留下的扇形中心角φ为多大时，做成的漏斗的容积最大．

Question

从一个半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成锥形漏斗，问留下的扇形中心角φ为多大时，做成的漏斗的容积最大．

Answer 1

设留下的扇形中心角 φ，做成的漏斗半径 r=R(φ)/(2π)，高为h=(R)/(2π)√(4π2−φ2)．
于是漏斗的体积V＝(R3)/(24π2)φ2√(4π2−φ2)，0＜φ＜2π，
求导得V′＝(R3)/(24π2)φ(8π2−3φ2)，
令V′=0得（0，2π）内唯一的驻点φ＝(2)/(3)√(6)π．
而实际问题V有最大值．于是φ＝(2)/(3)√(6)π时，V有最大值．