已知点p是正方形ABCD内的一点，连接PA,PB,PC.若PA的平方加PC的平方等于2PB的平方说明点PB必在对角线AC上

Question

已知点p是正方形ABCD内的一点，连接PA,PB,PC.若PA的平方加PC的平方等于2PB的平方说明点PB必在对角线AC上

Answer 1

P是正方形ABCD内一点，连AP.PC,PB,若PA^2+PC^2=2PB^2,请说明，点P必在对角线AC上 解以B为旋转中心，将ΔBAP顺时针旋转90°，此时A→C，P→Q。 连BQ，CQ，PQ，则AP=CQ，BP=BQ，ΔPBQ为等腰直角三角形，即得: PQ^2=2PB^2=2BQ^2. ∠BPQ=∠BQP=45° 而题设条件是:PA^2+PC^2=2PB^2 所以PQ^2=PA^2+PC^2=CQ^2+PC^2， 故∠PCQ=90°. 因为∠PBQ=∠PCQ=90°，所以P,B,Q,C四点共圆， 故得:∠BCP=∠BQP=45°. 因此P点在对角线AC上。 参考: P是正方形ABCD内一点，连AP.PC,PB,若PA^2+PC^2=2PB^2,请说明，点P必在对角线AC上 解以B为旋转中心，将ΔBAP顺时针旋转90°，此时A→C，P→Q。 连BQ，CQ，PQ，则AP=CQ，BP=BQ，ΔPBQ为等腰直角三角形，即得: PQ^2=2PB^2=2BQ^2. ∠BPQ=∠BQP=45° 而题设条件是:PA^2+PC^2=2PB^2 所以PQ^2=PA^2+PC^2=CQ^2+PC^2， 故∠PCQ=90°. 因为∠PBQ=∠PCQ=90°，所以P,B,Q,C四点共圆， 故得:∠BCP=∠BQP=45°. 因此P点在对角线AC上。 附证: 2PB^2=PA^2+PC^2=(PA+PC)^2-2PA*PC >=AC^2-2PA*PC=2AB^2-2PA*PC, 所以得: PB^2>=AB^2-PA*PC.(1) 当P在AC上，根据Stewart定理得: PB^2=AB^2-PA*PC.(2) 故满足:PA^2+PC^2=2PB^2，试P在对角线AC上