三角形ABC中,a方+b方+c方=8r方（r为三角形外接圆半径）.为什么可以判断这个三角形是直角三角形呢?我要的答案是证明的详细过程,最好是照片格式,打字出来的也可以.需要耐心解答,悬赏可以追

Question

三角形ABC中,a方+b方+c方=8r方（r为三角形外接圆半径）.
为什么可以判断这个三角形是直角三角形呢?
我要的答案是证明的详细过程,最好是照片格式,打字出来的也可以.
需要耐心解答,悬赏可以追加.
谢谢!

Answer 1

那就在解释一下
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r
则a²/4r²=sin²A
所以这里即sin²A+sin²B+sin²C=2
因为cosA=(b²+c²-a²)/2bc
所以2bccosA=b²+c²-a² (1)
令x=a/sinA=b/sinB=c/sinC
则a=xsinA,b=xsinB.c=xsinC
代入(1)
2xsinB*xsinCcosA=x²sin²B+x²sin²C-x²sin²A
两边除以x²
所以2cosAsinBsinC=sin²B+sin²C-sin²A (2)
因为sin²A+sin²B+sin²C=2
所以sin²B+sin²C=2-sin²A
代入(2)
所以即2cosAsinBsinC=2-2sin²A
2cosAsinBsinC=2(1-sin²A)
即2cosAsinBsinC=2cos²A
cosA(sinAsinC-cosA)=0
若sinBsinC-cosA=0
则sinBsinC=cosA=cos[180-(B+C0]=-cos(B+C)
sinBsinC=-[cosBcosC-sinAsinC)=sinBsinC-cosBcosC
所以cosA=0或cosBcosC=0
所以A=90度或B=90度或C=90度
所以是直角三角形