已知正方形的边长为a,作正方形的内切圆,在此内切圆作新的内接正方形,这样一直无限地继续下去.（1）求所有这些内切圆的周长的和（2）求所有这些内切圆面积的和

Question

已知正方形的边长为a,作正方形的内切圆,在此内切圆作新的内接正方形,这样一直无限地继续下去.
（1）求所有这些内切圆的周长的和
（2）求所有这些内切圆面积的和

Answer 1

这是一道关于无穷数列前N项和的问题：设第n个圆的半径为Rn,第n个正方形边长为An:
R1=a/2 ;A1=根号2*R1=(根号2)*a/2 ;R2=A1/2=(根号2)*a/4 .
由此可以推断：Rn=(a/2)*(根号2/2）^n
然后这道题就简单多了：(1)Sn=2*pai*(a/2)*(一个首项为根号2/2,公比为根号2/2的等比数列和）
（2）Sn=pai*(R1^2+……+Rn^2)=……这些相信你可以自己算了.