（2014•重庆二模）如图所示的两个同心圆盘均被n等分（n∈N+且n≥2），在相重叠的扇形格中依次同时填上1，2，3，L，n，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一

Question

（2014•重庆二模）如图所示的两个同心圆盘均被n等分（n∈N⁺且n≥2），在相重叠的扇形格中依次同时填上1，2，3，L，n，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”．
（Ⅰ）求n个不同位置的“旋转和”的和；
（Ⅱ）当n为偶数时，求n个不同位置的“旋转和”的最小值；
（Ⅲ）设n=4m（m∈N⁺），在如图所示的初始位置将任意m对重叠的扇形格中的两数均改写为0，证明：当m≤4时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0．

Answer 1

（Ⅰ）由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故n个不同位置的“旋转和”的和为1×（1+2+…+n）+2×（1+2+…+n）+…+n×（1+2+…+n）=(1+2+…+n)×(1+2+…+n)＝(n2(n+1)2)/(4)；  …（3分）
（Ⅱ）设内盘中的1和外盘中的k同扇形格时的“旋转和”为a_k
则a_k+1=1×（k+1）+2×（k+2）+…+（n-k）×n+（n-k+1）×1+…+n×ka_k
=1×k+2×（k+1）+…+（n-k）×（n-1）+（n-k+1）×n+…+n×（k-1）a_k+1-a_k
=1+2+…+（n-k）+（1-n）（n-k+1）+（n-k+2）+…+n
=(1+2+3+…+n)−n(n−k+1)＝n(k−(k+1)/(2))…（5分）
所以当k＜(n+1)/(2)时，a_k+1＜a_k，当k＞(n+1)/(2)时，a_k+1＞a_k，所以k=(n)/(2)+1时，a(n)/(2)+1最小
最小值a(n)/(2)+1=1×((n)/(2)+1)+2×((n)/(2)+2)+…+(n)/(2)×n+((n)/(2)+1)×1+…+n×(n)/(2)
=n(1+2+3+…+(n)/(2) )+2(12+22+…+(n2)/(4))=(n(n+2)(5n+2))/(24)；…（8分）
（Ⅲ）证明：将图中所有非0数改写为1，现假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为0，则此位置的“旋转和”必大于或等于2m+1，初始位置外的4m-1个位置的“旋转和”的和为（3m）²-3m，
则有（3m）²-3m≥（2m+1）（4m-1），即m²-5m+1≥0，所以m≥(5+√(21))/(2)，
这与m≤4矛盾，故命题得证．…（12分）