如图所示是两个同心圆被其两条半径所截得到的图形，已知AB的长为l，A′B′的长为l′，AA′=d，求证：（1）∠O=l-l′d×180π度；（2）SABB′A′=12（l+l′）d．

Question

如图所示是两个同心圆被其两条半径所截得到的图形，已知

AB

的长为l，

A′B′

的长为l′，AA′=d，求证：

（1）∠O=(l-l′)/(d)×(180)/(π)度；
（2）S_ABB′A′=(1)/(2)（l+l′）d．

Answer 1

证明：（1）设∠O=n°，则

AB

的长为l=(nπ•OA)/(180)，

A′B′

的长为l′=(nπ•OA′)/(180)，
则OA=(180l)/(nπ)，OA'=(180l′)/(nπ)，
∵OA-OA'=d，
则(180l)/(nπ)-(180l′)/(nπ)=d，
则n=(l-l′)/(d)×(180)/(π)．
故∠O=(l-l′)/(d)×(180)/(π)度；
（2）∵S_扇形OAB=(1)/(2)l•OA，S_扇形OA'B'=(1)/(2)l'•OA'，
∴S_ABB′A′=S_扇形OAB-S_扇形OA'B'=(1)/(2)l•OA-(1)/(2)l'OA'=(1)/(2)l•（OA'+d）-(1)/(2)l'•OA'=(1)/(2)（l+l′）d．