竖直平面内的轨道ABCD由水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧滑道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道放在光滑的水平面上，如图所示．一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动

Question

竖直平面内的轨道ABCD由水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧滑道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道放在光滑的水平面上，如图所示．一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平滑道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平滑道AB的中点．已知水平滑道AB长为L，轨道ABCD的质量为3m．求：

（1）小物块在水平滑道上受到的摩擦力的大小．
（2）为了保证小物块不从滑道的D端离开滑道，圆弧滑道的半径R至少是多大？
（3）若增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到的最大高度是1.5R，试分析小物块最终能否停在滑道上？

Answer 1

（1）小物块冲上轨道的初速度设为v₀，
E=(1)/(2)mv02
最终停在AB的中点，跟轨道有相同的速度，设为v，
在这个过程中，系统动量守恒，以初速度方向为正，有mv₀=（m+M）V
v=(1)/(4)√((2E)/(m))
系统的动能损失用于克服摩擦做功，有
△E=(1)/(2)mv02-(1)/(2)×(m+3m)v2=(3)/(2)fL
解得摩擦力 f=(E)/(2L)
（2）若小物块刚好到达D处，此时它与轨道有共同的速度（与v相等），在此过程中系统总动能减少转化内能（克服摩擦做功）和物块的重力势能，同理，有
△E₁=-(1)/(2)mv02-(1)/(2)×(m+3m)v2=fL+mgR
解得要使物块不从D点离开滑道，CD圆弧半径至少为R=(E)/(4mg)．
（3）从A到最高点的过程中，由动能定理得：-μmgL-mg×1.5R=-E′，解得：E′=(7)/(8)E，物块滑回C点时的动能为E_C=1.5mgR=(3)/(8)E，由于E_C<μmgL=(E)/(2)，故物块将停在滑道上，不会滑离滑道．
答：（1）小物块在水平滑道上受到的摩擦力的大小为(E)/(2L)；
（2）为了保证小物块不从滑道的D端离开滑道，圆弧滑道的半径R至少是(E)/(4mg)；
（3）若增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到的最大高度是1.5R，物块将停在滑道上，不会滑离滑道．