设有一长为6米.宽为8米的矩形,当长增加5cm,宽减少10cm时,求这个矩形的对角线长度变化的近似值?注《用二重积分求解》

Question

设有一长为6米.宽为8米的矩形,当长增加5cm,宽减少10cm时,求这个矩形的对角线长度变化的近似值?
注《用二重积分求解》

Answer 1

求长度的变化不是积分,而是微分
设矩形的长为x,宽为y,
故对角线的长度
L = √ (x²+y²),
求L的全微分
dL = x /√ (x²+y²) dx + y/√ (x²+y²) dy,
所以长为6米,宽为8米的矩形,
x=6米,y=8米
√ (x²+y²) =10米
故
dL =0.6 dx +0.8 dy
现在矩形的长增加5cm,宽减少10cm
即dx=0.05 ,dy = -0.1
所以
dL= 0.6×0.05 -0.8×0.1 = -0.05
故这个矩形的对角线长度变化的近似值为 -0.05米,
即对角线的长度减少了约0.05米