（2012•洪山区模拟）已知Rt△ABC中，直角边AC=3，BC=4，P、Q分别是AB、BC上的动点，且点P不与A、B重合．点Q不与B、C重合．（1）若CP⊥AB于点P，如图1，△CPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有

Question

（2012•洪山区模拟）已知Rt△ABC中，直角边AC=3，BC=4，P、Q分别是AB、BC上的动点，且点P不与A、B重合．点Q不与B、C重合．
（1）若CP⊥AB于点P，如图1，△CPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有几个？直接写出相等的腰和相应的CQ的长（不写解答过程）
（2）当P是AB的中点时，如图2，若△CPQ与△ABC相似，这时满足条件的点Q有几个？分别求出相应的CQ的长？
（3）当CQ的长取不同的值时，除PQ垂直于BC的△CPQ外，其余的△CPQ是否可能为直角三角形？若可能，请说明所有情况？若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线，交BC于Q，
则腰是CQ=PQ；
此时CQ=(1)/(2)BC=2；
当CP为腰时，在BC上截取CQ=CP，
则腰是CP=CQ′，
此时CQ=CP=(AC•BC)/(AB)=2.4；
（2）当P是AB的中点时，如图2，若△CPQ与△ABC相似，这时满足条件的点Q有2个，
①△PQC∽△ACB时，
∴(PC)/(AB)=(CQ)/(BC)=(1)/(2)，
∴CQ=(1)/(2)BC=2，
②△CPQ″∽△BCA时，
∴(CQ″)/(AB)＝(CP)/(BC)，
∴(CQ″)/(5)＝(2.5)/(4)，
∴CQ″=(25)/(8)；
（3）可能．
过Q作QP⊥BC，交AB于P点，连接CP，则△CPQ为直角三角形，作∠CAB的平分线AO，交BC于O点．作OP₁⊥AB于P₁点．
∴CO=OP₁以O为圆心，OC为半径作⊙O，⊙O与AB相切，切点为P₁，与CB的交点为D．
设CO=t，则OP₁=t，CD=2t，OB=4-t．
由△ABC∽△OBP₁，得
(OP1)/(AC)＝(OB)/(AB)，
∴(t)/(3)=(4−t)/(5)，
解得：t=1.5，
∴CD=3，
∴当Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，切点为P₁，连CP₁、P₁Q，△CP₁Q为直角三角形，此时共有两个直角三角形，
当Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0＜CQ＜3，CQ为直径的圆与AB相离，此时只有一个直角三角形CQP．（9分）
当Q点在DB上时（不与D、B重合），3＜CQ＜4，以CQ为直径的圆与AB有两个交点P₂、P₃．分别连接P₂、P₃与点C和Q，得直角三角形CQP₂和CQP₃，此时有三个直角三角形．