一道立体几何题--急!四棱锥中P-ABCD,底面ABCD为矩形,PD垂直底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD,PB的中点.设AB＝根2BC,求AC与平面AEF所成的角的大小要有过程（包括辅助线的作法）答案为arcsin根3／6

Question

一道立体几何题--急!
四棱锥中P-ABCD,底面ABCD为矩形,PD垂直底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD,PB的中点.
设AB＝根2BC,求AC与平面AEF所成的角的大小
要有过程（包括辅助线的作法）
答案为arcsin根3／6

Answer 1

不妨设AD＝BC＝1,AB＝CD＝√2
则AD＝√2＝AB
由∠BAD＝90度,AF为中线,有AF垂直BD（1）
取AD中点G,连结DG,FG,证平行四边形DEFG,
于是EF平行等于DG,有EF垂直BD（2）
由（1）（2）有BD垂直平面AEF
可先求BD与AC成角θ,则平面AEF与AC面角等于θ的余角
设AC与BD交点O
cos∠BOC=[(√3/2)^2+(√3/2)^2-1]/2·（√3/2）·（√3/2）=1/3（余弦定理）
cosθ＝cos∠OBP·cos∠BOC＝√3/2·1／3＝√3／6
于是AC与平面AEF所成角大小为arcsin√3／6